La matematica e il piano inclinato

In questo articolo presentiamo il video “Galileo e il piano inclinato”. È un video un po’ diverso dagli altri video che compongono il progetto di divulgazione scientifica, per una maggiore attenzione alla matematica.

Ci sono quindi i materiali semplici, usati anche da Galileo, la “trave di legno con scavato un canaletto drittissimo” la “palla di bronzo ben rotondata e pulita”. Sono i materiali con cui possiamo replicare, ripercorrere, reinventare, le “sensate esperienze” di Galileo, riportate nella scheda esperimenti [LINK].

Ci sono, inoltre, anche i calcoli, le figure geometriche, i numeri con cui Galileo coordina i suoi dati ed espone i suoi ragionamenti. Sono le “certe dimostrazioni”. L’importanza della matematica per lo studio della fisica è sottolineata da Galileo in modo impareggiabile nel suo libro “il Saggiatore” (1623).

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.

Una simile concezione della matematica e della lettura matematica del “libro della natura” era la specificità della tradizione scientifica “archimedea”. Le ricerche acustiche dei pitagorici, gli studi di meccanica di Archimede sull’equilibrio dei corpi, l’astronomia di Tolomeo, appartengono a questa tradizione.

Nella prima metà del Duecento, quando l’Inghilterra dei dotti parlava latino, Robert Grossatesta – il fondatore dell’Università di Oxford – scriveva nel suo De lineis, angulis et figuris

L’utilità di considerare linee, angoli e figure non può in alcun modo dirsi esagerata, dato che è impossibile conoscere la filosofia naturale senza di essi. Essi sono validi [applicabili] assolutamente sia all’universo preso globalmente sia anche alle sue singole parti. Essi sono validi anche nelle proprietà collegate, come nel moto retto e circolare.

Il piano inclinato è un luogo dove si trovano per così dire a convegno molti secoli di matematica.

Ci sono triangoli e rettangoli, espressioni algebriche, parabole, piani cartesiani, parallelogramma delle forze, vettori, e poi seni e coseni, derivate e integrali, equazioni differenziali, calcolo delle variazioni… cominciando lentamente e poi sempre più velocemente… al punto che i faticosi progressi iniziali sembrano poi poca cosa una volta presa velocità.

L’equilibrio di un corpo su un piano inclinato fu un ostacolo irrisolvibile per la statica dell’antichità. Nel medioevo, a Parigi e Oxford, il problema del moto accelerato ebbe le prime soluzioni, qui per via grafica, là per via algebrica. Galileo si dedicò a questo problema in molti periodi della sua vita, studiandolo con disegni, calcoli, e soprattutto esperimenti… alla fine Galileo presentò nei Discorsi le sue conclusioni (alcuni brani sono riproposti in antologia [LINK]).

Nella prima parte del video si accenna a questi diversi momenti storici, nell’ultima parte del video vengono riproposti gli esperimenti di Galileo. Le parti centrali del video (2a, 3a, 4a) sono dedicate alla descrizione matematica dei moti.

Nella seconda parte del video si presenta il moto uniforme, detto da Galileo “moto equabile”. È un termine musicale, che significa uniforme, regolare, il moto che procede a velocità costante.
Un tale moto può venire rappresentato con un rettangolo, la cui base rappresenta il tempo, l’altezza la velocità, e l’area lo spazio percorso.
Si può realizzare un moto del genere facendo cadere vassoietti di pasticcini o bicchieri di plastica vuoti. Essi raggiungono rapidamente una velocità limite, e scendono con moto uniforme, equabile.
Un altro modo di fare misure su moti (abbastanza) uniformi è di muovere una pallina su un piano orizzontale.


Nella terza parte del video si presenta il moto (uniformemente) accelerato. Esso può venire rappresentato con un triangolo. La base del triangolo rappresenta sempre il tempo, l’intervallo di tempo in cui si svolge il moto. L’area del triangolo lo spazio percorso.
La velocità, durante il moto accelerato, aumenta continuamente. E così la velocità iniziale, nulla, corrisponde al vertice del triangolo, mentre la velocità finale è rappresentata dall’altezza del triangolo.
Con considerazioni sulle aree di questi triangoli si possono ricavare le relazioni tra gli spazi percorsi da un corpo in moto accelerato in intervalli di tempo successivi. Per esempio, un vaso di fiori che cade dal quindicesimo piano percorre 5 metri nel primo secondo, altri 15 metri nel secondo successivo, altri 25 metri nel secondo successivo, e così via, gli spazi percorsi crescono come i numeri dispari (1, 3, 5, 7…).
Queste rappresentazioni sono descritte in un nostro libretto per la scuola media, intitolato “il piano inclinato” [LINK]. Esse possono servire anche al biennio delle superiori per introdurre l’argomento, e anche al triennio. Là le relazioni tra spazio e tempo verranno poi espresse con formule, con grafici su piani cartesiani, con funzioni e derivate, e molto altro ancora [LINK alla scheda superiori].

Nella quarta parte del video si presenta la parabola. Galileo aveva trovato un modo molto bello di disegnare la parabola, o meglio, di farla disegnare ai moti della natura, come racconta Salviati alla fine della seconda giornata, nei Discorsi

Salv. Modi di disegnar tali linee ce ne son molti, ma due sopra tutti gli altri speditissimi glie ne dirò io: uno de i quali è veramente maraviglioso, poiché con esso, in manco tempo che col compasso altri disegnerà sottilmente sopra una carta quattro o sei cerchi di differenti grandezze, io posso disegnare trenta e quaranta linee paraboliche, non men giuste sottili e pulite delle circonferenze di essi cerchi. Io ho una palla di bronzo esquisitamente rotonda, non più grande d’una noce; questa, tirata sopra uno specchio di metallo, tenuto non eretto all’orizonte, ma alquanto inchinato, sì che la palla nel moto vi possa camminar sopra, calcandolo leggiermente nel muoversi, lascia una linea parabolica sottilissimamente e pulitissimamente descritta, e più larga e più stretta secondo che la proiezzione si sarà più o meno elevata. Dove anco abbiamo chiara e sensata esperienza, il moto de i proietti farsi per linee paraboliche: effetto non osservato prima che dal nostro amico, il quale ne arreca anco la dimostrazione nel suo libro del moto, che vedremo insieme nel primo congresso. La palla poi, per descrivere al modo detto le parabole, bisogna, con maneggiarla alquanto con la mano, scaldarla ed alquanto inumidirla, ché così lascerà più apparenti sopra lo specchio i suoi vestigii.

Il disegno della parabola è, insieme al parallelogramma delle forze, una attività matematica e al tempo stesso un po’ pratica e un po’ artistica, molto raccomandabile. Le parabole uniscono il moto uniforme e il moto accelerato. Si possono incontrare in numerose pagine del “libro della natura”, disegnate nelle traiettorie dei palloni da basket, nei getti d’acqua delle fontane, nelle ombre delle lampade sui muri, nei fanali delle macchine.

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